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By George Boole

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Example text

2), und wir können von Konvergenz und Cauchyfolgen in X sprechen. vm C vl / in X liegt, folgt I. vl / D d konvergiert die rechte Seite in dieser Ungleichung für m; l ! vm vl /j2 ! m; l ! vm /m2N eine Cauchyfolge in dem normierten Raum X ist. Wir fassen dies zusammen. 5. Eine Minimalfolge für I auf X ist eine Cauchyfolge in X. Leider können wir den 5. X; k kX / nicht vollständig, also kein Banachraum ist. 6. a; b/, 1 < a < b < 1. b/ D 0g mit kvkX D . x/2 dx/ 2 ist nicht vollständig. G/-Norm versehen und damit zu einem Banachraum machen, jedoch könnten wir dann kaum direkt aus dem Variationsproblem nachweisen, dass eine Minimalfolge eine Cauchyfolge in diesem neuen Raum ist.

G/ : j˛jD0 Beweis. 8). G/. G/. G/ ! 0 für k ! 1. Definiere v D v 0 . Dann ist zu zeigen, dass v schwache Ableitungen D ˛ v besitzt und D ˛ v D v ˛ ist. G/. v ˛ j˛j vk /D ' C . v G D ˛ vk ' G Z D Z ˛ j˛j Z vk /D ' C . D vk G ˛ j˛j Z v /' C . p 0 / 1 D 1, ˇZ ˇ Z ˇ ˇ ˇ vD ˛ ' . G/ ! 0 für k ! 1. Das heißt, dass Z vD ˛ ' D . G/ gilt, also v ˛ D D ˛ v ist. Wir befassen uns mit Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen. G/-Funktionen im verallgemeinerten Sinn zu definieren. Dies geschieht nun.

Wir versuchen nun zu beweisen, dass es ein Minimum u 2 X des Funktionals I auf X gibt. v/: v2X 1. Schritt: Der erste – hier besonders einfache – Schritt ist der Nachweis, dass d <1 ist. Dies ist klar, denn die Nullfunktion liegt in X . Bei komplizierteren Variationsproblemen ist dieser Schritt unter Umständen schwierig. 2. Schritt: I ist auf X nach unten beschränkt: d> 1: Zum Nachweis dieser Eigenschaft benötigen wir die Poincarésche Ungleichung. 20 nachgeliefert. 3 (Poincarésche Ungleichung). Es sei G in einer Richtung des Rn beschränkt.

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